Exercices - Utilisation de Chasles
Exercice 1
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan. Démontrer que :
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a
\(\vec{CB} + \vec{AC} + \vec{BA} = \vec{0}\)
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b
\(\vec{BC} + \vec{DA} - \vec{DC} = \vec{BA}\)
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c
\(\vec{AC} + \vec{DB} = \vec{AB} + \vec{DC}\)
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Exercice 2
En utilisant l'identité de Chasles, montre que pour tout point \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\) : $$ \vec{ED} + \vec{DB} + \vec{EA} + \vec{BE} + \vec{AE} = \vec{0}$$
Exercice 3
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). Faire une figure.
1
En utilisant les propriétés du parallélogramme, démontrer que \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}\)
2
Démontrer que pour tout point M, \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = 4 \vec{MO}\)
Indication : La relation de Chasles permet de dire \(\vec{MA} = \vec{MO} + \vec{OA}\)
Exercice 4
Soient \(A\), \(B\), \(C\) troie points du plan et \(I\) le milieu de \([AB]\).
1
Faire un shéma
2
Démontrer que \( \vec{CA} + \vec{CB} = 2 \vec{CI} \)
Indication : Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(\vec{IA}\) et \(\vec{IB}\) sont opposés
Exercice 5
Soient \(A\), \(B\), \(C\) troie points du plan, \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([AC]\).
1
Faire un shéma
2
Démontrer que \( \vec{BC} = 2 \vec{IJ} \)
Indication : Introduire plusieurs points intermédiaires avec Chasles et passer deux fois par \(I\) puis \(J\)
3
Quel théorème de collège vient d'être démontré ?